Mathématiques de base Exemples

$\frac{2 y^{2} - 3 y - 5}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = - 3$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $- 3$ à partir de $- 3 y$ .

$\frac{2 y^{2} - 3 (y) - 5}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $- 3$ comme $2$ plus $- 5$

$\frac{2 y^{2} + (2 - 5) y - 5}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 y^{2} + 2 y - 5 y - 5}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 y^{2} + 2 y) - 5 y - 5}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 y (y + 1) - 5 (y + 1)}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $y + 1$ .

$\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{4 y^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 2

Réécrivez $4 y^{2}$ comme ${(2 y)}^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{{(2 y)}^{2} - 25} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{{(2 y)}^{2} - 5^{2}} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 y$ et $b = 5$ .

$\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{(2 y + 5) (2 y - 5)} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 5

Réduisez l’expression $\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{(2 y + 5) (2 y - 5)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(y + 1) (2 y - 5)}{(2 y + 5) (2 y - 5)} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{y^{2} - 6 y - 7}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 6

Factorisez $y^{2} - 6 y - 7$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 7$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 7, 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{2 y^{2} - 9 y - 35}$

Étape 7

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 y$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{2 y^{2} - 9 (y) - 35}$

Étape 7.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $5$ plus $- 14$

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{2 y^{2} + (5 - 14) y - 35}$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{2 y^{2} + 5 y - 14 y - 35}$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{(2 y^{2} + 5 y) - 14 y - 35}$

Étape 7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{y (2 y + 5) - 7 (2 y + 5)}$

Étape 7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 y + 5$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{(2 y + 5) (y - 7)}$

Étape 8

Réduisez l’expression $\frac{(y - 7) (y + 1)}{(2 y + 5) (y - 7)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{(y - 7) (y + 1)}{(2 y + 5) (y - 7)}$

Étape 8.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{y + 1}{2 y + 5}$

Étape 9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1

Réduisez l’expression $\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{y + 1}{2 y + 5}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{2 y + 5} \div \frac{y + 1}{2 y + 5}$

Étape 9.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1}$

Étape 9.2

Réécrivez l’expression.

$1$